Géométrie hyperbolique versus euclidienne


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  • Réduire les informations redondantes pour trouver des modèles simplificateurs dans des ensembles de données et des réseaux complexes est un défi scientifique dans de nombreux domaines de la connaissance. De plus, la détection de la dimensionnalité des données reste un problème difficile à résoudre. Un article publié dans la revue Communication Nature présente une méthode pour déduire la dimensionnalité des réseaux complexes grâce à l’application de la géométrie hyperbolique, qui capture la complexité des structures relationnelles du monde réel dans de nombreux domaines divers.

    Parmi les auteurs de l’étude figurent les chercheurs M. Ángeles Serrano et Marián Boguñá, de la Faculté de physique et de l’Institut des systèmes complexes de l’UB (UBICS), et Pedro Almargo, de l’École technique supérieure d’ingénierie de l’Université de Séville. L’étude de recherche fournit un modèle hyperbolique multidimensionnel de réseaux complexes qui reproduit sa connectivité, avec une dimensionnalité ultra-faible et personnalisable pour chaque réseau spécifique. Ceci permet une meilleure caractérisation de sa structure — par exemple à l’échelle d’une communauté — et l’amélioration de sa capacité prédictive.

    L’étude révèle des régularités inattendues, telles que les dimensions extrêmement faibles des réseaux moléculaires associés aux tissus biologiques ; la dimensionnalité un peu plus élevée requise par les réseaux sociaux et Internet ; et la découverte que les connectomes cérébraux sont proches des trois dimensions dans leur organisation automatique.

    Hyperbolique contre Géométrie euclidienne

    La géométrie intrinsèque des ensembles de données ou des réseaux complexes n’est pas évidente, ce qui devient un obstacle à la détermination de la dimensionnalité des réseaux réels. Un autre défi est que la définition de la distance doit être établie en fonction de leur structure relationnelle et de connectivité, ce qui nécessite également des modèles sophistiqués.

    Désormais, la nouvelle approche est basée sur la géométrie des réseaux complexes, et plus précisément, sur le modèle géométrique configurationnel ou Smaquette. « Ce modèle, que nous avons développé dans des travaux antérieurs, décrit la structure de réseaux complexes basés sur des principes fondamentaux », explique le maître de conférences M. Ángeles, chercheur ICREA au département de physique de la matière condensée de l’UB.

    « Plus précisément — poursuit-il –, le modèle postule une loi d’interconnexion des éléments (ou nœuds) du réseau qui est gravitationnelle, donc des nœuds qui sont plus proches dans un espace de similarité — de géométrie sphérique en D dimensions — et avec plus de popularité – une dimension supplémentaire correspondant à l’importance du nœud – sont plus susceptibles d’établir des connexions. »

    Dans l’étude, les variables de similarité et de popularité sont combinées pour donner naissance à la géométrie hyperbolique du modèle, qui apparaît comme la géométrie naturelle représentant l’architecture hiérarchique des réseaux complexes.

    Dans des études précédentes, l’équipe avait appliqué la version la plus simple du S unidimensionnel modèle — le S1 modèle – pour expliquer de nombreuses caractéristiques typiques des réseaux du monde réel : la propriété du petit monde (les six degrés de séparation), les distributions hétérogènes du nombre de voisins par nœud et les niveaux élevés de relations transitives (connexions triangulaires qui peuvent être illustré par l’expression l’ami de mon ami est aussi mon ami).

    « De plus, l’application de techniques d’inférence statistique nous permet d’obtenir de vraies cartes de réseau dans le plan hyperbolique qui sont congruentes avec le modèle établi », dit-elle. « Au-delà de la visualisation, ces représentations ont été utilisées dans une multitude de tâches, y compris des méthodes de navigation efficaces, la détection de modèles d’auto-similarité, la détection de communautés de nœuds en interaction forte et la mise en œuvre d’une procédure de renormalisation de réseau qui révèle des symétries cachées dans l’organisation multi-échelles de réseaux complexes et permet la production de répliques de réseaux à des échelles réduites ou agrandies. »

    Désormais, l’équipe déduit la dimensionnalité de l’espace hyperbolique sous-jacent aux réseaux réels à partir de propriétés liées à la dimension de leur géométrie. En particulier, le travail mesure les statistiques des cycles d’ordre supérieur (triangles, carrés, pentagones) associés aux connexions.

    Une méthodologie applicable à tous les réseaux complexes

    En informatique, les techniques appliquées sont basées sur des données qui définissent généralement la distance de similarité entre leurs éléments, une approche qui implique la construction de graphes qui sont cartographiés sur un espace latent de caractéristiques euclidiennes.

    « Nos estimations de la dimensionnalité des réseaux complexes sont bien inférieures à nos estimations basées sur l’espace euclidien, car l’espace hyperbolique est mieux adapté pour représenter la structure hiérarchique de réseaux complexes réels. Par exemple, Internet ne nécessite que D = 7 dimensions pour être cartographié dans l’espace hyperbolique de notre modèle, alors que ce nom est multiplié par six et s’échelonne à D = 47 dans l’une des techniques les plus récentes utilisant l’espace euclidien », explique le professeur Marián Boguñá.

    De plus, les techniques de cartographie de données complexes supposent généralement un espace latent, avec un nom de dimensions prédéterminé, ou mettent en œuvre des techniques heuristiques pour trouver une valeur appropriée. Ainsi, la nouvelle méthode est basée sur un modèle qui n’a pas besoin de la cartographie spatiale du réseau pour déterminer la dimension de sa géométrie.

    Dans le domaine de la science des réseaux, de nombreuses méthodologies utilisent les distances les plus courtes pour étudier la structure de connectivité du réseau (chemins les plus courts) en tant qu’espace métrique. Cependant, ces distances sont fortement affectées par la propriété du petit monde et ne fournissent pas une large gamme de valeurs de distance.

    « Notre modèle utilise une définition complètement différente de la distance basée sur un espace hyperbolique sous-jacent, et nous n’avons pas besoin de cartographier le réseau. Notre méthodologie est applicable à tout réseau réel ou série de données avec une structure complexe et une taille qui est généralement de plusieurs milliers ou des dizaines de milliers de nœuds mais peut atteindre des centaines de milliers en un temps de calcul raisonnable », explique M. Ángeles Serrano.

    Quelle est la dimensionnalité réelle des réseaux sociaux et d’Internet ?

    réseaux sociaux et Internet est plus élevé (entre 6 et 9) par rapport aux réseaux dans d’autres domaines, selon les résultats de l’étude. Elle reste cependant très faible — 6 à 7 fois plus faible — par rapport à celle obtenue par d’autres méthodes. Cela reflète le fait que les interactions dans ces systèmes sont plus complexes et déterminées par une plus grande variété de facteurs.

    En revanche, les réseaux sociaux basés sur l’amitié sont en tête du classement de la dimensionnalité. « C’est un résultat inattendu, car on pourrait penser que l’amitié est un type de relation affective plus libre, mais nos résultats sont liés au fait que l’homophilie dans les interactions humaines est déterminée par une multitude de facteurs sociologiques tels que l’âge, le sexe, la classe sociale, croyances, attitudes ou intérêts », explique M. Ángeles Serrano.

    Dans le cas d’Internet, même s’il s’agit d’un réseau technologique, sa plus grande dimensionnalité reflète le fait que pour un système autonome, se connecter ne signifie pas seulement accéder au système, comme on pourrait le penser de prime abord. Au contraire, de nombreux facteurs différents influencent la formation de ces connexions et, par conséquent, une variété d’autres relations peuvent être présentes (par exemple, fournisseur-client, peer-to-peer, peering basé sur l’échange, etc.).

    « Ce qui est vraiment surprenant, à la fois pour les réseaux sociaux et Internet, c’est que notre cadre théorique – qui n’utilise aucune annotation sur les connexions au-delà de leur existence – est capable de capturer cette réalité multidimensionnelle qui n’est pas explicite dans nos données », conclut l’équipe, qui travaille actuellement à la construction de cartes multidimensionnelles hyperboliques de réseaux complexes conformes au cadre théorique établi par le S maquette.

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