mardi , 26 septembre 2017

On a découvert le nombre Pi dans l'atome d'hydrogène

La valeur PI, un nombre qui ne finit jamais, est l’une des constantes les plus importantes en mathématique. Et on vient de découvrir la même formule dans l’atome d’hydrogène. Mais ne vous précipitez pas pour trouver un lien entre le nombre Pi et un prétendu mystère de l’univers, car c’est juste le résultat de l’utilisation d’une formule complexe des mathématiques.


On a découvert le nombre Pi dans l'atome d'hydrogène
Il y a 366 ans, le mathématicien anglais John Wallis a découvert une formule inhabituelle pour Pi, cette valeur décimale qui n’a pas de fin. Désormais, 2 physiciens ont trouvé la même formule à partir d’un calcul de routine pour l’atome d’hydrogène. Le nombre Pi est le rapport constant de la circonférence d’un cercle par rapport à son diamètre. La valeur Pi est l’un des nombres les plus étranges des mathématiques. Sa représentation décimale, 3.14159265358979, ne finit jamais et ne se répète jamais. Et on peut capturer Pi avec de nombreuses formules. Par exemple en 1965, Wallis a découvert que Pi peut être écrit comme le produit d’un nombre infini de rapports qui sont multipliés ensemble dans la forme : Pi/2=(2/1*2/3)*(4/3*4/5)*(6/5*6/7)*(8/7*8/9)*.

La dérivation de cette formule n’était pas facile pour Wallis selon Tamar Friedmann, une mathématicienne et physicienne de l’université de Rochester. En termes bruts, il a commencé par considérer le rapport des zones d’un cercle et d’un carré qui limite ce rapport ce qui nous donne Pi/4. Willis a trouvé un moyen d’écrire ce rapport en termes de sommes infinies telles que 1+23+33+43+. Après des pages et des pages d’arithmétique, il a été capable de remplacer les sommes avec le produit pour obtenir enfin la fameuse formule de Pi. Par la suite, les mathématiciens ont trouvé des moyens plus simples pour trouver la formule en utilisant des techniques de la théorie de la probabilité, de la combinatoire et de la trigonométrie.

Aujourd’hui, Friedmann et Carl Hagen, un physicien théoricien de l’université de Rochester, ont trouvé une manière extrêmement simple de trouver la formule en utilisant un calcul de 3 pages. Ce calcul implique l’atome d’hydrogène. L’atome d’hydrogène consiste en un électron d’une charge négative qui est lié à un proton d’une charge positive. Selon la mécanique quantique, l’électron ne tourne pas autour du proton comme la Lune tourne autour du soleil. Au lieu, l’électron occupe des orbites qui donnent la probabilité de trouver l’électron à tel ou tel endroit. Chaque orbite possède une énergie spécifique.

Dans leur calcul, qui a été publié cette semaine dans la revue Journal of Mathematical Physics, les chercheurs ont utilisé une technique appelée comme le principe variationnel pour découvrir la limite supérieure pour l’énergie de chaque orbite. Ils ont comparé cette estimation avec l’énergie exacte de chaque orbite qu’on peut déduire via un calcul plus précis. Hagen a ensuite appliqué ce problème dans la mécanique quantique et il a découvert que la valeur approximative est proche de celle de la limite supérieure exacte. C’était étrange selon Friedmann, car les approximations fonctionnent mieux avec les limites faibles de l’énergie.

Friedmann a prouvé que, pour que chaque orbite dans laquelle l’électron tourne autour du noyau avec une grande quantité de moments cinétiques, le rapport de l’énergie exacte et approximative peut être réécrite comme le rapport d’une chose appelée les fonctions Gamma. Quand le moment cinétique augmente, le rapport des fonctions Gamma se rapproche de 1 ce qui explique l’efficacité de l’approximation. De plus, l’une des fonctions Gamma donne la valeur de Pi tandis que les autres peuvent être réécrites comme le produit des rapports dans la formule de Wallis. Et avec un peu de changement, la formule de Wallis est apparue. J’étais complètement surpris a déclaré Friedmann, car je ne m’attendais pas du tout à trouver la valeur Pi dans un atome d’hydrogène.

L’apparition de la formule ne signale rien de profond concernant la théorie quantique selon Bruno Nachtergaele, un physicien mathématicien de l’université de Californie et l’éditeur du journal qui a publié les travaux. On peut se réjouir de cette découverte, mais on ne doit pas chercher de sens profond. L’apparition de la formule est plus liée aux propriétés des fonctions Gamma que de la physique de l’atome d’hydrogène. Des fonctions spéciales telles que des fonctions Gamma peuvent être réécrites de nombreuses manières dans des sommes, des produits, des entiers, etc. En fait, l’analyse de Friedmann et Hagen permettra de découvrir d’autres formules célèbres dans des endroits inattendus.

 

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A propos de Jacqueline Charpentier

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Ayant fait une formation en chimie, il est normal que je me sois retrouvée dans une entreprise d'emballage. Désormais, je publie sur des médias, des blogs et des magazines pour vulgariser l'actualité scientifique et celle de la santé.

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