Découverte d'une nouvelle propriété des nombres premiers

Traduction de l’article paru sur Quanta Magazine

2 mathématiciens ont découvert une propriété simple, mais inconnue des nombres premiers. Un nombre premier est uniquement divisible par un et par lui-même. Et cette nouvelle propriété est que les nombres premiers ont des préférences définies sur les dernières décimales des nombres premiers qui les suivent. Par exemple dans le premier milliard de nombres premiers, un nombre premier se terminant par 9 aura 65 % de chances d’être suivi par un nombre premier se terminant par 1 qu’un autre nombre se terminant par 9. Dans un papier publié le 11 mars 2016, Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver de l’université de Stanford présente des preuves théoriques et numériques que les nombres premiers rejettent d’autres nombres premiers se terminant avec la même décimale. Les chercheurs ont aussi des prédictions qu’ils seront forcément suivi par des nombres premiers se terminant par toutes les autres possibles décimales.

On étudie les nombres premiers depuis longtemps et on ne l’avait jamais détecté selon Andrew Granville, un théoricien des nombres à l’université de Montréral. C’est complètement fou ! Et cette découverte est à l’opposé des prédictions des mathématiciens selon Ken Ono, un théoricien des nombres à l’université d’Emory à Atlanta. Quand j’ai entendu ces travaux, j’ai pensé que c’était impossible et qu’il y avait une erreur. À première vue, cette conspiration des nombres premiers semble violer une hypothèse qui était acceptée par tous dans la théorie des nombres sur le fait que : Les nombres premiers se comportent comme des nombres aléatoires. La plupart des mathématiciens étaient d’accord pour dire qu’un nombre premier aura une chance égale d’être suivie par un nombre premier se terminant par 1, 3, 7 ou 9 (les 4 terminaisons possibles pour tous les nombres premiers exceptés 2 et 5). Personne n’aurait pu imaginer cette découverte selon Granville. C’est très étrange. Mais cette découverte ne compromet pas la notion aléatoire des nombres premiers, mais on doit redéfinir l’aléatoire. Il semble que ce phénomène soit un mélange d’ordre et d’aléatoire.

Les préférences de nombres premiers

Lemke Oliver et Soundararajan, les 2 mathématiciens qui ont découvert une nouvelle propriété des nombres premiers

Soundararajan a étudié cette propriété des nombres premiers après une conférence à Stanford par le mathématicien Tadashi Tokieda de l’université de Cambridge. Il a mentionné une propriété contre-intuitive du jet de pile ou face. Si Alice lance une pièce jusqu’à ce qu’elle voit une face suivie par une pile et que Bob lance une pièce jusqu’à ce qu’il voit 2 faces à la suite, alors en moyenne, Alice aura besoin de 4 lancers tandis que Bob en aura besoin de 6 (vous pouvez le tester chez vous) même si les valeurs pile/face et face/face ont une chance égale d’apparaître après 2 lancers.

Soundararajan s’est demandé si ce phénomène étrange est aussi valable dans d’autres contextes. Étant donné qu’il étudiait les nombres premiers depuis des décennies, il voulait savoir si ces nombres obéissaient à ce phénomène. En analysant les nombres premiers de base 3, dont la moitié se termine par 1 et l’autre par 2, il a découvert que parmi les nombres premiers inférieurs à 1 000, un nombre se terminant par 1 aura deux fois plus de chances d’être suivi par un premier se terminant par 2 qu’aucun autre premier se terminant par 1. Un premier se terminant par 2 préfère être suivi par un premier se terminant par 1.

Soundararajan a montré ses découvertes au chercheur postdoctorant Lemke Oliver qui a été choqué. Il a immédiatement écrit un programme qui cherchait dans une échelle des 400 premiers milliards de nombres premiers. Lemke Oliver a aussi trouvé que les nombres premiers n’aiment pas être suivis par un autre premier se terminant par la même décimale. Les nombres premiers détestent se répéter selon Lemke Oliver.

Lemke Oliver et Soundararajan ont découvert que, ce biais dans les dernières décimales, est valable en base 3, mais également en base 10 et d’autres bases des nombres premiers. Et ils supposent que c’est valable pour n’importe quelle base. Ce biais tendait à se disperser, très progressivement, quand on analysait les nombres sur une très grande échelle, mais cette dispersion était très lente. Cette dispersion m’a beaucoup surpris selon James Maynard, un théoricien des nombres à l’université d’Oxford. Et je ne les ai pas crus. Je suis retourné à mon bureau et j’ai testé avec mes propres expériences.

La première hypothèse de Lemke Oliver et Soundararajan est que ce biais possédait une simple explication : Peut-être qu’un nombre premier se terminant en 3 sera suivi par un premier se terminant en 7, 9 ou 1 parce qu’il rencontre ces nombres avant d’atteindre une autre valeur se terminant par 3. Par exemple, 43 est suivi par 47, 49 et 51 avant de revenir vers 53 et une de ces valeurs, 47, est un nombre premier.

Mais les chercheurs ont réalisé que cette explication ne tenait pas par rapport à la magnitude des biais qu’ils ont trouvés. Pourquoi des premiers se terminant par 3 aiment-ils être suivis par des nombres se terminant par 9, 1 ou 7 ? Pour expliquer ces préférences, Lemke Oliver et Soundararajan devaient se plonger dans les modèles mathématiques les plus profonds qui expliquent le comportement aléatoire des nombres premiers.

Les nombres premiers aléatoires

Bien entendu, les nombres premiers ne sont pas du tout aléatoires et ils sont même totalement déterminés. Mais sur de nombreux aspects, ils se comportent comme des nombres aléatoires gouvernés par une seule règle d’or : La densité approximative des nombres premiers, à côté de n’importe quel nombre, est inversement proportionnelle sur le nombre de décimales. En 1936, le mathématicien suédois Harald Cramér a exploré ce modèle élémentaire (PDF) pour générer des nombres premiers en apparence aléatoire : Pour chaque nombre, on lance une pièce alourdie. Et la densité de poids à côté de ce nombre permet de l’inclure ou non dans la liste des nombres premiers aléatoires. Cramér a démontré que ce modèle de lancer de pièce fait un excellent travail pour prédire certaines caractéristiques des vrais nombres premiers, par exemple, pour calculer la quantité de nombres premiers entre 2 carrés parfaits à la suite.

En dépit de son pouvoir de prédiction, le modèle de Cramér est très simplifié. Par exemple, des nombres ont une bonne chance d’être choisi comme des valeurs impaires tandis qu’on ne voit jamais les vrais premiers à part pour le nombre 2. Au fil des années, les mathématiciens ont peaufiné le modèle de Cramér pour compter les nombres divisibles par 3, 5, et d’autres petits nombres premiers. Le modèle de lancer de pièce est très pratique pour connaitre le comportement des nombres premiers. Il prédit notamment que les nombres premiers se fichent de leur dernière décimale et que les terminaisons de 1, 3, 7 et 9 doivent se produire de manière égale. De même, la même logique doit s’appliquer à la valeur qui suit un nombre premier. Le modèle de lancer de pièce était tellement simple que les mathématiciens n’ont pas regardé le biais qui a été démontré avec cette nouvelle découverte selon Granville. On suppose juste une idée de base et on estime que la théorie est vraie.

Mais on peut expliquer cette préférence des nombres premiers sur leurs dernières décimales. Soundararajan et Lemke Oliver ont découvert qu’on peut utiliser un modèle amélioré de l’aléatoire dans les nombres premiers qu’on connait comme la conjecture des premiers K-Tuples. Proposée à la base par les mathématiciens G. H. Hardy et J. E. Littlewood en 1923, cette conjecture fournit une estimation de chaque constellation possible de nombres premiers avec un pattern d’espacement donné. Une pléthore d’indices numériques supporte la conjecture, mais une preuve formelle reste encore à démontrer.

La conjecture K-tuples englobe de nombreux problèmes centraux des nombres premiers tels que la conjecture des nombres premiers jumeaux. Cette dernière postule qu’il y a des paires infinies de nombres premiers qui sont séparés uniquement par 2 et on peut citer 17 et 19. Mais la majorité des mathématiciens estiment que cette conjecture n’est pas si grande, mais cela n’empêche pas le fait qu’elle est prédite par la conjecture k-tuples.

De même, Soundararajan et Lemke Oliver ont trouvé que leur biais dans les nombres premiers est très proche des prédictions de la conjecture K-tuples. En d’autres termes, la conjecture mathématique la plus sophistiquée sur l’aléatoire des nombres premiers force ces nombres premiers à avoir un biais considérable. Je pense qu’il faut que je réfléchisse sur une nouvelle manière d’enseigner la théorie analytique des nombres dans ma classe selon Ono.

À ce stade, il est difficile de dire si ce biais est isolé ou s’il a des connexions profondes dans d’autres structures mathématiques des nombres premiers. Mais les mathématiciens vont l’étudier rapidement dans d’autres contextes tels que les polynômes premiers qui sont des objets fondamentaux dans la théorie des nombres qu’on ne peut pas factoriser en des polynômes simples. Cette découverte qui concerne surtout les mathématiques soulève la question de ce qu’on a manqué d’autre sur les nombres premiers.

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