Une preuve mathématique de 200 téraoctets

Un ordinateur a résolu le problème des triples booléens de Pythagore, mais est-ce qu’on est toujours dans les mathématiques ?


Le supercalculateur Stampede de l'université du Texas qui a résolu le problème des triples booléens pythagoréens.
Le supercalculateur Stampede de l'université du Texas qui a résolu le problème des triples booléens pythagoréens.

3 informaticiens ont annoncé la plus grande preuve à ce jour, un fichier de 200 téraoctets qui équivaut à tous les textes de la Librairie du Congrès. Les chercheurs ont créé une version compressée de 68 téraoctets et vous pouvez la télécharger pour la vérifier si vous avez 30 000 heures de téléchargement. Mais il est humainement impossible de lire cette preuve .

Il existe de nombreuses preuves confirmées par ordinateur et qui sont trop grandes pour être vérifiées par des humains. Et c’est assez fréquent dans les combinatoires, l’étude des structures discrètes finies. Mais une preuve mathématique de 200 téraoctets est un record même pour ce domaine selon Ronald Graham, mathématicien à l’université de Californie. Le précédent record est une preuve de 13 gigaoctets publiée en 2014.

L’énigme mathématique qui nécessite une preuve de 200 To est appelée le problème des triples booléens pythagoréen et il intrigue les mathématiciens depuis des décennies. En 1980, Graham a offert un prix de 100 dollars pour celui ou celle qui pourraient le résoudre. Il a présenté le chèque de 100 dollars à Marijn Heule, l’un des 3 informaticiens au début de ce mois. Ce problème mathématique demande s’il est possible de colorier chaque entier positif en bleu ou en rouge pour qu’aucun trio d’entier a, b et c soit de la même couleur. Les valeurs a, b et c correspondent à la fameuse équation de Pythagore a2 + b2 = c2. Par exemple, pour les triples pythagoréens de 3, 4 et 5, si 3 et 5 sont coloriés en bleu, alors 4 doit être rouge.

Dans un papier posté sur arXiv le 3 mai, Heule, Oliver Kullmann de l’université de Swansean au Royaume-Uni et Victor Marek de l’université du Kentucky ont démontré qu’il existe plusieurs manières de colorier les entiers jusqu’à 7 824, mais quand vous atteignez 7 825, il est impossible pour chaque triple pythagoréen d’être en multi-couleur. Il existe 102 300 manières de colorier les entiers jusqu’à 7 825, mais les chercheurs ont exploité les avantages des symétries et de plusieurs techniques de la théorie des nombres pour réduire le nombre de possibilités pour que l’ordinateur puisse vérifier en dessous du trillion. Il a fallu 800 processeurs qui ont tourné en parallèle pendant 2 jours sur le supercalculateur Stampede pour calculer toutes les possibilités. Les chercheurs ont ensuite vérifié la preuve avec un autre programme.

Les nombres allant de 1 à 7 824 peuvent être colorié en bleu ou rouge pour qu'aucun trio a, b et c, qui égalisent a2 + b2 = c2 ne soit de la même couleur. La grille de 7 284 carrés montre une telle solution avec les nombres coloriés en rouge et bleu. Mais pour les nombres de 1 à 7 825, il n'y a pas de solution.

Les nombres allant de 1 à 7 824 peuvent être coloriés en bleu ou rouge pour qu’aucun trio a, b et c, qui égalisent a2 + b2 = c2 ne soit de la même couleur. La grille de 7 284 carrés montre une telle solution avec les nombres coloriés en rouge et bleu. Mais pour les nombres de 1 à 7 825, il n’y a pas de solution.

Les faits contre la théorie

Le problème des triples pythagoréen est l’une des nombreuses questions dans la théorie de Ramsey, un domaine des mathématiques qui concernent la recherche de structures qui doivent apparaitre dans des ensembles suffisamment larges. Par exemple, les chercheurs pensent que si le problème autorise 3 couleurs plutôt que 2, alors ils atteindront toujours un point où il serait impossible de créer un triple pythagoréen où a, b et c seraient de la même couleur. Ils supposent que c’est le cas pour n’importe quel choix fini de couleurs. Mais une preuve, incluant plus de couleurs, serait supérieure à 200 téraoctets à moins que les chercheurs simplifient le processus de contrôle avec des progrès dans la compréhension.

Bien que l’ordinateur ait résolu le problème des triples booléens de Pythagore, il ne fournit pas la raison de l’impossibilité du coloriage ou pourquoi cette limite de 7 825 selon Kullmann. Cela donne un écho à l’objection philosophique des preuves par ordinateur. Elles peuvent être correctes, mais est-ce que c’est toujours des mathématiques ? Si le travail du mathématicien est une quête pour augmenter la compréhension humaine des mathématiques, alors ce type de preuve a peu d’intérêt. Il vaut mieux se baser sur la théorie plutôt que les possibilités des ordinateurs.

Mais parfois, les mathématiciens arrivent au niveau de la machine. La preuve de 13 Go (qui concernait la conjecture de Syracuse) de 2014 a été résolue par le mathématicien Terence Tao de l’université de Californie en 2015 et il a utilisé une méthode conventionnelle et c’était une solution plus satisfaisante.

 

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Jacqueline Charpentier

Ayant fait une formation en chimie, il est normal que je me sois retrouvée dans une entreprise d'emballage. Désormais, je publie sur des médias, des blogs et des magazines pour vulgariser l'actualité scientifique et celle de la santé.

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