Une preuve monumentale va tourmenter les mathématiciens pour plusieurs années (conjecture a b c)

par Houssen Moshinaly · 30 juillet 2016

Shinichi Mochizuki, un mathématicien qui prétend avoir démontré la conjecture abc, a tenu une conférence pour expliquer ses travaux. Ses papiers, totalisant 500 pages, doivent être encore validés même si on a fait quelques progrès pour les comprendre.

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Environ 4 douzaines de mathématiciens ont convergé la semaine dernière pour entendre Mochizuki qui présentait ses travaux dans une conférence au Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) à l’université de Kyoto.

Mochizuki est moins isolé qu’auparavant selon Kiran Kedlaya, un théoricien des nombres à l’université de Californie. Bien que les papiers de Mochizuki, faisant plus de 500 pages, semblent être une jungle impénétrable de formules, les experts discernent progressivement une stratégie de la preuve qui est décrite par les papiers. Et Jeffrey Lagarias, un théoricien des nombres à l’université du Michigan, estime que les travaux de Mochizuki valent le coup. Il a des idées qui sont révolutionnaires.

Et Kedlaya a déclaré que plus il se plonge dans la preuve et plus il a tendance à penser qu’elle est correcte. Il prédit que le problème pourrait être résolu vers 2017. D’autres sont moins optimistes. Les constructions sont claires et on pourrait étendre de nombreux arguments, mais la stratégie globale m’échappe totalement selon Vesselin Dimitrov, un mathématicien de l’université de Yale. Et en plus, il y a des notations qui sont indigestes au possible. Ces papiers ne ressemblent à rien de ce qu’on a déjà vu dans la littérature mathématique.

La preuve abc

Le théorème de Mochizuki prétend prouver la conjecture abc qui date de 1985 et qui concerne les nombres premiers. La conjecture existe dans différentes formes, mais elle explique comment les nombres premiers qui divisent 2 nombres, a et b, sont lié à ceux qui divise leur somme, c.

Si la preuve de Mochizuki est correcte, alors elle aura des répercussions dans toute la discipline selon Dimitrov. Quand vous travaillez avec la théorie des nombres, vous ne pouvez pas ignorer la conjecture abc. C’est pourquoi tous les théoriciens des nombres veulent connaitre l’approche de Mochizuki. Par exemple, Dimitrov a montré en janvier 2015 que si la preuve est correcte, alors on pourrait l’étendre sur d’autres résultats importants incluant une preuve indépendante du dernier célèbre théorème de Fermat.

Mais cette preuve, que Mochizuki a publiée la première fois en aout 2012 (les 4 papiers sont disponibles à la fin de l’article), se base sur une décennie de travaux antérieurs que Mochizuki a effectués dans un isolement total et il a développé une nouvelle branche, extrêmement abstraite, des mathématiques.

L’atelier de Kyoto était la suite d’une présentation qui s’est tenue à Oxford en décembre 2015. Mochizuki n’a pas assisté à cette réunion même s’il a répondu aux questions de l’audience par Skype. Cette fois, sa présence physique ainsi que sa propre manière de présenter ses travaux, fut plus utile selon Taylor Dupuy, un mathématicien de la Hebrew University à Jérusalem qui a participé aux 2 ateliers.

Actuellement, il y a 10 mathématiciens qui tentent de digérer les travaux alors qu’il y en avait que 3 à l’époque de l’atelier d’Oxford selon Ivan Fesenko, un mathématicien de l’université de Nottingham qui a co-organisé les 2 ateliers et ce groupe inclut des jeunes chercheurs comme Dupuy. Mochizuki est réputé pour être une personne très privée. On dit qu’il ne mange jamais en présence de quelqu’un d’autre et qu’il n’a pas participé aux activités sociales et aux rencontres après l’atelier de Kyoto. Il répondait aux questions, mais il était évasif sur les processus. Mochizuki n’est pas quelqu’un d’ouvert et il pourrait être un excellent joueur de poker.

Quelques mathématiciens ont critiqué Mochizuki pour son refus de voyager. Après avoir posté ses papiers, il a refusé plusieurs offres pour passer du temps à l’étranger afin d’expliquer ses idées. Il a passé une bonne partie de sa jeunesse aux Etats, mais désormais, il quitte rarement la zone de Kyoto. Il ne répond jamais aux interviews et le site de l’atelier dit clairement qu’aucune couverture médiatique ne sera acceptée. Il est très rationnel et réaliste selon l’un des participants de l’atelier qui n’a pas voulu être nommé. La seule chose qui le frustre est que les gens le jugent sans comprendre les détails de sa démarche. Selon Dupuy, il doit subir beaucoup de critiques sur le plan personnel et je suis certain qu’il en a marre.

Les 4 papiers de Shinichi Mochizuki (500 pages au total) :