Un physicien traduit la fonction zêta de Riemann en théorie quantique des champs

Le physicien de l’UC Santa Barbara, Grant Remmen, pense qu’il a une nouvelle approche pour explorer les bizarreries de la fonction zêta. Il a trouvé un analogue qui traduit bon nombre des propriétés importantes de la fonction en théorie quantique des champs. Cela signifie que les chercheurs peuvent désormais tirer parti des outils de ce domaine de la physique pour étudier la fonction zêta énigmatique et étrangement omniprésente. Ses travaux pourraient même conduire à une preuve de l’hypothèse de Riemann. Remmen expose son approche dans le journal Lettres d’examen physique.

“La fonction zêta de Riemann est cette fonction mathématique célèbre et mystérieuse qui revient partout dans la théorie des nombres”, a déclaré Remmen, chercheur postdoctoral au Kavli Institute for Theoretical Physics de l’UCSB. “Il a été étudié pendant plus de 150 ans.”

Un regard extérieur

Remmen ne travaille généralement pas à résoudre les plus grandes questions de mathématiques. Il est généralement préoccupé par les plus grandes questions de physique. En tant que boursier en physique fondamentale à l’UC Santa Barbara, il consacre normalement son attention à des sujets tels que la physique des particules, la gravité quantique, la théorie des cordes et les trous noirs. “Dans la théorie moderne des hautes énergies, la physique des plus grandes et des plus petites échelles recèle les mystères les plus profonds”, a-t-il fait remarquer.

L’une de ses spécialités est la théorie quantique des champs, qu’il décrit comme un “triomphe de 20^e physique du siècle.” La plupart des gens ont entendu parler de la mécanique quantique (particules subatomiques, incertitude, etc.) et de la relativité restreinte (dilatation du temps, E = mc², et ainsi de suite). “Mais avec la théorie quantique des champs, les physiciens ont compris comment combiner la relativité restreinte et la mécanique quantique dans une description du comportement des particules se déplaçant à ou près de la vitesse de la lumière”, a-t-il expliqué.

La théorie quantique des champs n’est pas exactement une théorie unique. Cela ressemble plus à une collection d’outils que les scientifiques peuvent utiliser pour décrire n’importe quel ensemble d’interactions de particules.

Remmen a réalisé que l’un des concepts qu’il contient partage de nombreuses caractéristiques avec la fonction zêta de Riemann. C’est ce qu’on appelle une amplitude de diffusion, et elle code la probabilité mécanique quantique que les particules interagissent les unes avec les autres. Il était intrigué.

Les amplitudes de diffusion fonctionnent souvent bien avec des impulsions qui sont des nombres complexes. Ces nombres sont constitués d’une partie réelle et d’une partie imaginaire — un multiple de √-1, que les mathématiciens appellent je. Les amplitudes de diffusion ont de belles propriétés dans le plan complexe. D’une part, ils sont analytiques (peuvent être exprimés en série) autour de chaque point, à l’exception d’un ensemble sélectionné de pôles, qui se trouvent tous le long d’une ligne.

“Cela semblait similaire à ce qui se passe avec les zéros de la fonction zêta de Riemann, qui semblent tous se trouver sur une ligne”, a déclaré Remmen. “Et alors j’ai réfléchi à la façon de déterminer si cette similitude apparente était quelque chose de réel.”

Les pôles d’amplitude de diffusion correspondent à la production de particules, où se produit un événement physique qui génère une particule avec une quantité de mouvement. La valeur de chaque pôle correspond à la masse de la particule créée. Il s’agissait donc de trouver une fonction qui se comporte comme une amplitude de diffusion et dont les pôles correspondent aux zéros non triviaux de la fonction zêta.

Avec un stylo, du papier et un ordinateur pour vérifier ses résultats, Remmen s’est mis au travail pour concevoir une fonction qui avait toutes les propriétés pertinentes. “J’avais eu l’idée de connecter la fonction zêta de Riemann aux amplitudes dans le fond de mon esprit pendant quelques années”, a-t-il déclaré. “Une fois que j’ai commencé à trouver une telle fonction, il m’a fallu environ une semaine pour la construire, et explorer pleinement ses propriétés et rédiger l’article a pris quelques mois.”

D’une simplicité trompeuse

À la base, la fonction zêta généralise la série harmonique :

Cette série explose à l’infini quand X ≤ 1, mais il converge vers un nombre réel pour chaque X > 1.

En 1859, Bernhard Riemann décida de réfléchir à ce qui se passerait lorsque X est un nombre complexe. La fonction, qui porte maintenant le nom de Riemann zeta, prend un nombre complexe et en recrache un autre.

Riemann a également décidé d’étendre la fonction zêta aux nombres où la composante réelle n’était pas supérieure à 1 en la définissant en deux parties : la définition familière tient aux endroits où la fonction se comporte, et une autre définition implicite couvre les endroits où elle soufflerait normalement. jusqu’à l’infini.

Grâce à un théorème d’analyse complexe, les mathématiciens savent qu’il n’y a qu’une seule formulation pour cette nouvelle zone qui préserve en douceur les propriétés de la fonction d’origine. Malheureusement, personne n’a pu la représenter sous une forme à nombre fini de termes, ce qui fait partie du mystère entourant cette fonction.

Compte tenu de la simplicité de la fonction, elle devrait avoir quelques fonctionnalités intéressantes. “Et pourtant, ces propriétés finissent par être diaboliquement compliquées à comprendre”, a déclaré Remmen. Par exemple, prenez les entrées où la fonction est égale à zéro. Tous les nombres pairs négatifs sont mappés à zéro, bien que cela soit apparent – ou “trivial” comme disent les mathématiciens – lorsque la fonction zêta est écrite sous certaines formes. Ce qui a rendu les mathématiciens perplexes, c’est que tous les autres zéros non triviaux semblent se trouver le long d’une ligne : chacun d’eux a une composante réelle de ½.

Riemann a émis l’hypothèse que ce modèle est valable pour tous ces zéros non triviaux, et la tendance a été confirmée pour les premiers billions d’entre eux. Cela dit, il existe des conjectures qui fonctionnent pour des milliards d’exemples, puis échouent à des nombres extrêmement élevés. Les mathématiciens ne peuvent donc pas être certains que l’hypothèse est vraie tant qu’elle n’est pas prouvée.

Mais si c’est vrai, l’hypothèse de Riemann a des implications profondes. “Pour diverses raisons, il surgit partout dans les questions fondamentales en mathématiques”, a déclaré Remmen. Les postulats dans des domaines aussi distincts que la théorie du calcul, l’algèbre abstraite et la théorie des nombres dépendent de la validité de l’hypothèse. Par exemple, le prouver fournirait un compte rendu précis de la distribution des nombres premiers.

Un analogue physique

L’amplitude de diffusion trouvée par Remmen décrit deux particules sans masse interagissant en échangeant un ensemble infini de particules massives, une à la fois. La fonction a un pôle – un point où elle ne peut pas être exprimée en série – correspondant à la masse de chaque particule intermédiaire. Ensemble, les pôles infinis s’alignent avec les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.

Ce que Remmen a construit est la composante principale de l’interaction. Il y en a infiniment plus qui expliquent chacun des aspects de plus en plus petits de l’interaction, décrivant des processus impliquant l’échange de plusieurs particules massives à la fois. Ces “amplitudes au niveau de la boucle” feront l’objet de travaux futurs.

L’hypothèse de Riemann postule que les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous une composante réelle de ½. Traduisant cela dans le modèle de Remmen : Tous les pôles de l’amplitude sont des nombres réels. Cela signifie que si quelqu’un peut prouver que sa fonction décrit une théorie quantique des champs cohérente – à savoir une théorie où les masses sont des nombres réels et non imaginaires – alors l’hypothèse de Riemann sera prouvée.

Cette formulation introduit l’hypothèse de Riemann dans un autre domaine de la science et des mathématiques, un avec des outils puissants à offrir aux mathématiciens. “Non seulement il y a cette relation avec l’hypothèse de Riemann, mais il y a toute une liste d’autres attributs de la fonction zêta de Riemann qui correspondent à quelque chose de physique dans l’amplitude de diffusion”, a déclaré Remmen. Par exemple, il a déjà découvert des identités mathématiques non intuitives liées à la fonction zêta en utilisant des méthodes de la physique.

Le travail de Remmen suit une tradition de chercheurs qui se tournent vers la physique pour faire la lumière sur les dilemmes mathématiques. Par exemple, le physicien Gabriele Veneziano a posé une question similaire en 1968 : si la fonction bêta d’Euler pouvait être interprétée comme une amplitude de diffusion. “En effet, c’est possible”, a fait remarquer Remmen, “et l’amplitude que Veneziano a construite était l’une des premières amplitudes de la théorie des cordes.”

Remmen espère tirer parti de cette amplitude pour en savoir plus sur la fonction zêta. “Le fait qu’il y ait tous ces analogues signifie qu’il se passe quelque chose ici”, a-t-il déclaré.

Et l’approche ouvre la voie pour prouver éventuellement l’hypothèse séculaire. “Les innovations nécessaires pour prouver que cette amplitude provient d’une théorie quantique légitime des champs vous donneraient automatiquement les outils dont vous avez besoin pour bien comprendre la fonction zêta”, a déclaré Remmen. “Et ça te donnerait probablement plus aussi.”