vendredi , 15 décembre 2017

Le mystère mathématique d’une ancienne tablette babylonienne

Les chercheurs estiment qu’une ancienne tablette babylonienne connue comme Plimpton 322 est la plus ancienne et la plus précise des tables trigonométriques. Cela suggère aussi que les Babyloniens avaient découvert la trigonométrie 1000 ans avant les Grecs.


Le mystère mathématique d’une ancienne tablette babylonienne
La tablette babylonienne - Plimpton 322 qui montre une table trigonométrique - Crédit : UNSW/Andrew Kelly
Les scientifiques de l’UNSW Sydney expliquent le mystère d’une célèbre tablette d’argile babylonienne datant de 3700 ans révélant qu’elle est la table trigonométrique la plus ancienne et la plus précise au monde. Elle était utilisée par les anciens scribes mathématiques pour calculer la manière de construire des palais, des temples et des canaux.

La nouvelle recherche montre que les Babyloniens ont devancé les Grecs sur l’invention de la trigonométrie de plus de 1000 ans et elle révèle également une ancienne sophistication mathématique. Connue sous le nom de Plimpton 322, la petite tablette a été découverte au début des années 1900 dans le sud de l’Irak par Edgar Banks, un archéologue et diplomate qui a inspiré le personnage d’Indiana Jones.

La tablette comporte 4 colonnes et 15 lignes de nombres écrites en cunéiforme de l’époque en utilisant un système de base 60 ou sexagésimal. Plimpton 322 a intrigué les mathématiciens depuis plus de 70 ans puisqu’on a compris qu’elle contient une quantité particulière de nombres connus comme les triplets de Pythagore selon le docteur Daniel Mansfield de l’École des mathématiques et des statistiques de la Faculté des sciences de l’UNSW.

Le mystère était de comprendre pourquoi les anciens scribes avaient besoin de générer et de trier des nombres complexe sur la tablette. Notre recherche révèle que Plimpton 322 décrit les formes des triangles à angle droit en utilisant un nouveau type de trigonométrie basée sur des ratios et non des angles et des cercles. C’est un travail mathématique fascinant qui démontre une habileté indéniable.

Le Dr. Daniel Mansfield avec la tablette Plimpton 322 - Crédit : UNSW/Andrew Kelly

Le Dr. Daniel Mansfield avec la tablette Plimpton 322 – Crédit : UNSW/Andrew Kelly

La tablette contient la table trigonométrique la plus ancienne du monde, mais elle est également la seule table trigonométrique complètement précise grâce à l’approche babylonienne très différente de l’arithmétique et de la géométrie. Cela signifie qu’elle possède une certaine pertinence pour notre monde moderne. Les mathématiques babyloniennes sont peut-être obsolètes depuis plus de 3000 ans, mais elles ont des applications possibles dans les domaines de l’arpentage, de l’infographie et de l’éducation.

La nouvelle étude du Dr Mansfield et du professeur adjoint de l’UNSW, Norman Wildberger, est publiée dans Historia Mathematica, une revue dédiée à l’histoire des mathématiques.1 Une table trigonométrique vous permet d’utiliser un ratio connu des côtés d’un triangle à angle droit pour déterminer les deux autres ratios inconnus. L’astronome grec Hipparque, qui a vécu environ 120 ans avant l’ère commune, a longtemps été considéré comme le père de la trigonométrie avec sa “table des cordes” sur un cercle considéré comme la plus ancienne table trigonométrique.

Plimpton 322 est antérieur à Hipparque de plus de 1000 ans selon le Dr Wildberger. Cela ouvre de nouvelles possibilités non seulement pour la recherche moderne en mathématiques, mais aussi pour l’éducation mathématique. Avec Plimpton 322, nous voyons une trigonométrie plus simple et plus précise qui présente des avantages évidents par rapport à la nôtre.

Il existe de nombreuses tablettes babyloniennes, mais seule une fraction d’entre elles ont été étudiées. Le monde mathématique moderne commence à peine à comprendre cette culture mathématique ancienne qui pourrait nous apprendre beaucoup de choses. Le Dr Mansfield a parlé de Plimpton 322 par hasard pour préparer les cours des étudiants en mathématiques de première année à l’UNSW. Mansfield et le Dr Wildberger ont décidé d’étudier les mathématiques babyloniennes et d’examiner les différentes interprétations historiques du sens de la tablette après avoir constaté qu’elle avait des parallèles avec la trigonométrie rationnelle d’un livre du Dr Wildberger intitulé Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry.

Les 15 lignes sur la tablette décrivent une séquence de 15 triangles à angle droit qui diminuent régulièrement dans l’inclinaison. Le bord gauche de la tablette est cassé et les chercheurs de l’UNSW se basent sur des recherches antérieures pour présenter de nouvelles preuves mathématiques qu’il y avait à l’origine 6 colonnes et que la tablette devait être complétée avec 38 lignes.

Ils démontrent également comment les anciens scribes, qui ont utilisé une base arithmétique numérique similaire à notre horloge plutôt que le système de base de 10, pourraient avoir généré les nombres sur la tablette en utilisant leurs techniques mathématiques. Les mathématiciens de l’UNSW Science fournissent également des preuves qui infirment les hypothèses précédentes selon lesquelles la tablette était simplement une aide d’enseignant pour vérifier les solutions aux problèmes quadratiques des élèves.

Plimpton 322 était un outil puissant qui aurait pu être utilisé pour surveiller les champs ou effectuer des calculs architecturaux pour construire des palais, des temples ou des pyramides échelonnées selon le Dr Mansfield. La tablette, qui est censée provenir de l’ancienne ville sumérienne de Larsa, a été datée de 1822 à 1762 avant l’ère commune. Elle est désormais dans la Rare Book and Manuscript Library de l’Université Columbia à New York.  Même si l’étude est très intéressante, il faut rester prudent. Si l’hypothèse de la tablette se confirme, alors cela signifie que les babyloniens connaissaient la trigonométrie sur un plan purement mathématique. Mais on doit encore prouver qu’ils ont utilisé cette technique dans leurs constructions. C’est mathématiquement élégant et impressionnant, mais le reste de l’étude est spéculatif pour le moment.

Un triplet pythagoricien se compose de 3 nombres entiers positifs a, b et c tels que a2 + b2 = c2. Les nombres entiers 3, 4 et 5 sont un exemple bien connu d’un triplet pythagoricien, mais les valeurs sur Plimpton 322 sont considérablement plus grandes avec, par exemple, la première ligne faisant référence au triplet 119, 120 et 169. Le nom est dérivé du théorème de Pythagore des triangles à angle droit qui indique que le carré de l’hypoténuse (le côté diagonal opposé à l’angle droit) est la somme des carrés des deux autres côtés.

Sources

1.
Mansfield DF, Wildberger NJ. Plimpton 322 is Babylonian exact sexagesimal trigonometry. Historia Mathematica. August 2017. doi: 10.1016/j.hm.2017.08.001
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A propos de Jacqueline Charpentier

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Ayant fait une formation en chimie, il est normal que je me sois retrouvée dans une entreprise d’emballage. Désormais, je publie sur des médias, des blogs et des magazines pour vulgariser l’actualité scientifique et celle de la santé.

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